Comment trouver le chemin le plus court entre deux points ?

[eomer]

C'est le style de question à  laquelle il n'est pas toujours évident de répondre. Supposons que nous nous déplaçons en avion et que nous n'avons pas de problème de ravitaillement en carburant.

- A l'échelle d'un pays comme la France, l'exercice est assez facile: il suffit de prendre une carte (par exemple la Michelin 792) et de tracer une ligne droite.
- A l'échelle Européenne ou à  celle des Etats-Unis, cette méthode est encore utilisable mais pour des vols intercontinentaux, les cartes, basées sur les projections de Mercator, de Lambert ou de Peters, sont trompeuses.
- Lorsqu'il s'agit de franchir les océans, les routes les plus courtes dessinent des cercles et ne suivent pas les parallèles ou les méridiens: cela devient donc beaucoup plus compliqué de tracer le route la plus courte entre deux points.

Si quelqu'un connait une méthode pour calculer la route la plus courte entre (par exemple) Paris et Los Angeles, cela m'intéresse.
J'ai essayé avec un globe terrestre et une ficelle mais cela manque sérieusement de précision.

Question subsidiaire: comment déterminer la route la plus courte entre:
- Séville (Espagne) et Auckland (Nouvelle-Zélande)
- Buenos-Aires (Argentine) et Shangaï (Chine)
- La Mecque (Arabie Saoudite) et Tureïa (Polynésie Française)
- Le Pôle Nord et le Pôle Sud

[Maastricht]

Google Earth

[Maastricht]

Seville-Auckland : 19.900kms, via le nord du Québec !
Buenos-Aires-Shangaï : 19.600kms, via le mont Erebus.
La Mecque - Tureïa : 19.800kms, via les Canaries.
Pôle Nord - Pole sud : 19.980 kms, via où on veut !

[eomer]

Google Earth

Merci: c'est vrai que l'option "règle" de Google Earth aide bien !
Bon, en navigant sur le web, j'ai trouvé un peu plus d'infos:

1- Il faut tout d'abord récupérer les coordonnées des deux points à  relier l'un à  l'autre (cela marche mieux en décimales):
Paris (parvis de Notre Dame) : 48.85341°, 2.3488°
Los Angeles: 34.054, -118,245
Note: par convention, la latitude est positive dans l'hémisphère nord et négative dans l'hémisphère sud. La longitude est positive à  l'est du méridien de Greenwich et négative à  l'ouest. On inverse lorsque l'on atteint 180°

2- Il faut ensuite trouver leurs points antipodaux:
Pour la latitude, c'est facile: il suffit d'inverser le signe. Pour la longitude, il faut retrancher la longitude de 180° puis inverser le signe.
- Antipode de Paris: -48.85341, -177.6512
- Antipode de LA: -34.054, 61,755
Remarquons que ces deux points tombent dans l'eau:
- au sud-est de Wellington
- au sud est de Madagascar

3- Il faut ensuite tracer, sur un globe terrestre un cercle passant par les 4 points.

4- On considère les deux arcs de cercles reliant Paris à  LA: l'un représente le chemin le plus court et l'autre la ligne droite la plus longue. La somme des deux fait 40 000 km (bon OK, la terre est un peu aplatie aux pôles mais elle ressemble tout de même plus à  un ballon de foot qu'à  un ballon de rugby).

Autre possibilité pour aller de Paris à  Auckland:
Comme on sait que Séville est "l'anti-Auckland"et que Séville est relativement proche de Paris, il est évident que plus on s'éloigne de Séville, plus on se rapproche d'Auckland: il suffit donc de partir dans la direction inverse de Séville.

Avec "Google Earth" on peut s'amuser à  tracer une route Séville-Buenos Aires-Auckland-Shangaï-Séville: cela donne bien un cercle de 40 000 km.

[rerefr]

Et pour calculer la distance de l'arc de "cercle"?

C'est une question de géomaticien ça !
ou de géodésien...
Quelques indices :
La Terre est une patatoïde qui peut s'apparenter à  (au moins) une ellipsoïde, aplatie aux pôles.

ça devient alors un problème de géométrie : distance entre 2 points situés sur une ellipsoïde.

exemple pour calculer l'abscisse curviligne sur une sphère dans un premier temps :
http://www.ign.fr/telechargement/FAQ/FAQ11.doc

[marsupilud]

Seville-Auckland : 19.900kms, via le nord du Québec !
Buenos-Aires-Shangaï : 19.600kms, via le mont Erebus.
La Mecque - Tureïa : 19.800kms, via les Canaries.
Pôle Nord - Pole sud : 19.980 kms, via où on veut !

Et maintenant, question ultime : combien mesurait la ficelle de eomer avec laquelle il a fait ces mesures sur son globe ?



Bien vu Maastricht pour le réflexe Google Earth, c'est assez surprenant !
Ayant depuis quelque temps un ami à  New York et un autre à  Singapour, je me demandais par quel côté passaient les avions reliant ces deux villes, étant donné qu'elles sont plus ou moins diamétralement opposées ; les quelques cartes de routes aériennes que l'on peut trouver sur le net indiquait préférentiellement un itinéraire par dessus l'océan Pacifique. Or Google Earth vient de me montrer que ni l'un ni l'autre, mais que le plus court chemin est finalement via le pôle Nord ! De même, New-York <> Tokyo par le détroit de Béring ..

.... A quand les tunnels TGV directs !?

[cartomi]

je me demandais par quel côté passaient les avions reliant ces deux villes, étant donné qu'elles sont plus ou moins diamétralement opposées ; les quelques cartes de routes aériennes que l'on peut trouver sur le net indiquait préférentiellement un itinéraire par dessus l'océan Pacifique. Or Google Earth vient de me montrer que ni l'un ni l'autre, mais que le plus court chemin est finalement via le pôle Nord !

Mais les avions ne prennent pas forcément le chemin le plus court entre deux points, sur de longues distances, les routes sont aussi calculées en fonction des jets-streams, les vents d'altitudes qui sont assez bien établis et très rapides et qui permettent de faire gagner quelques tonnes de kérosène et du temps!

[glouby]

Et la rotation de la terre, non?

[G.E.]

Hier, pour faire Paris - Houston, je suis bien passé au-dessus du Goënland... On ne peut pas dire que c'est direct !

[eomer]

Mais les avions ne prennent pas forcément le chemin le plus court entre deux points, sur de longues distances, les routes sont aussi calculées en fonction des jets-streams, les vents d'altitudes qui sont assez bien établis et très rapides et qui permettent de faire gagner quelques tonnes de kérosène et du temps!

Naturellement, ce ne peut être une règle absolue. Et puis, il y a des raisons tout bêtement commerciales: comme il est difficile de remplir un 747 ou un A340 par jour entre Paris et Nouméa ou Papeete, on ajoute une escale à  Los Angeles. De toutes façons, une telle distance n'est pas parcourable sans escale...

Il y a aussi un côté pratique: s'il est relativement facile de tracer la route la plus courte, il est bcp plus compliqué de la suivre. Pendant longtemps, les navires ont cherché à  suivre les parallèles car on ne savait pas mesurer la longitude avec précision: le but n'était pas de gagner du temps mais simplement de ne pas se paumer.
Faire le point sans GPS n'est pas aussi facile qu'on le croit surtout lorsque le pont du navire bouge !

Mais lorsque le Titanic à  coulé en 1912, au large de Terre Neuve, il se trouvait très au nord de ses points de départ (Cove en Irlande) et d'arrivée (New York): il était bel et bien sur la route la plus courte.
De nos jours, on passe au dessus de l'Islande et du Groenland en allant de France au Canada.

Pour revenir au cas "Paris-Auckland": la route la plus "courte" (18 517 km) tourne le dos à  Séville et passe par la Suède, la Finlande, la Nouvelle-Zemble, la Sibérie, le nord du Japon, les Iles Salomon, le Vanuatu, la Nouvelle Calédonie et l'ile Norfolk. Elle passe au dela du 73° parallèle nord: étonnant pour un trajet qui nous enmène vers la plus australe des villes millionnaire !

[rerefr]

Pour de très grandes distances, ce n'est pas aisé de répondre à  cette question. Néammoins, tu peux trouver les coordonnées du milieu de l'arc.
Pour cela, il faut passer en coordonnées cartésiennes (XYZ qui a comme origine le centre de la Terre), et calculer les coordonnées cartésiennes du milieu entre ton point de départ et d'arrivée. Ensuite, trouver l'intersection de la droite passant par le centre de la Terre et par le point calculé avec la surface terrestre (sphère). Ainsi, nous avons les coordonnées du milieu de l'abscisse curviligne.

[marsupilud]

J'ai peu pensé à  ça aujourd'hui, et regardé du côté de l'A380 : aujourd'hui la liaison New-York <> Singapour s'effectue via une escale à  CDG ; le plus court chemin par le pôle nord totalise selon Google Earth 15300 km, or la portée de l'A380 atteint maintenant près de 15700 km, et il se trouve que c'est justement Singapour Airlines qui fût son premier client. ont-ils prévus de tracer une nouvelle route pour cette liaison ?

Sinon pour les Mac'philes, il y a un widget intégré à  Mac OS X qui s'appelle Flight Traker, où l'on peut suivre en temps réel les vols en cours. .... carte à  l'appui !

Et sinon il y a le site web, tout simplement génial : http://www.flytecomm.com

[Fantomas]

Il y a aussi un côté pratique: s'il est relativement facile de tracer la route la plus courte, il est bcp plus compliqué de la suivre.

D'ailleurs, le chemin le plus court que l'on trace sur une carte à  projection de Mercator, qui n'est en fait pas le plus court en distance, est cependant le plus facile à  suivre, car on conserve un cap constant. Pour suivre le "vrai" chemin le plus court, il faut adapter le cap en permanence (*)

Pendant longtemps, les navires ont cherché à  suivre les parallèles car on ne savait pas mesurer la longitude avec précision

C'est vrai que la latitude, on a su faire très tôt (il suffit de mesurer la position des étoiles). La longitude, c'est bien plus compliqué, puisqu'il faut connaître le temps d'un point de référence. Les progrès de la mesure de la longitude sont en fait liés à  ceux de la conservation du temps (la précision des horloges).

(*) : ou alors il faut creuser un tunnel, c'est ça le vrai chemin le plus court en géométrie euclidienne

[guy21]

Et la rotation de la terre, non?

Bin non: tu tournes avec, car les couches de l'atmosphère qui portent l'avion suivant la rotation terrestre.

[rerefr]

Et la rotation de la terre, non?

Bin non: tu tournes avec, car les couches de l'atmosphère qui portent l'avion suivant la rotation terrestre.

Si vous parlez d'avion, alors, la rotation de la terre compte au niveau du temps de parcours via les courants jet , via les vents dominants

[guy21]

Oui, OK pour l'influence sur le temps de parcours, mais pas sur l'orthodromie.

[choka]

Salut à  tous!
Je suis tombé par hasard sur votre forum conscernant la distance Paris Los-Angeles, et j'ai calculé la distance orthodromique(la plus courte sur la surface du globe) et la distance loxodromique(navigation à  cap constant).

J'ai obtenu:
Distance Loxo=9833,68 km
Distance Ortho= 8 834,97 km

[choka]

Pour Houston Paris,
on obtient une distance orthodromique de 7863 km et un vertex(point dont la latitude st la plus grande sur le trajet)
de coordonnées :
Lat=53°39'14.5"N
Long=030°16'34.4"W

Ce qui est drole c'est que google earth est proche de ce calcul en notant que la ligne de la regle passe par le vertex pour paris-houston.